面面垂直的判定定理是什么

面面垂直的判定定理是什么

面面垂直的判定定理：

在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直；如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直；如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

如何判断面面垂直?

定义：若两个平面的二面角为直二面角,则面面垂直 判定定理：一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直 性质定理： 性质1：如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 性质2：如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 性质3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面. 性质4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直.这个东西你没事的时候多做做题,无聊的时候看这墙角好好想想,回顾一下.

面面垂直的性质定理

面面垂直的性质定理 定理： 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

定理

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。

几何描述：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β

证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β

∵a⊂α，P∈a

∴P∈α

即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点

∴P∈b

过P在β内作c⊥b

∵b⊂β，a⊥β

∴a⊥b，垂足为P

又c⊥b，垂足为P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c⊂β

∴a⊥c，即∠aPc=90°

根据面面垂直的定义，α⊥β

推论1

如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。

已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β

证明：过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c

∵a∥β

∴a∥c（线面平行的性质定理）

∵a⊥α

∴c⊥α（线面垂直的性质定理）

∵c⊂β

∴β⊥α（定理1）

推论2

如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）

证明：设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b

则根据线面平行的判定定理，有a∥β

∵a⊥α

∴α⊥β（推论1）

这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。

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