施密特正交化的几何意义是什么(什么是施密特正交化？)

施密特正交化的几何意义是什么

正交化使得计算更加方便，最简单的例子就是求逆，需要计算半天，但正交阵求逆很简单，只需转置一下就可以了。从几何上说，正交基就像一个欧式空间，比如三维空间的x轴，y轴，z轴，没有正交化的就是非欧几何，比如说用（1 0 0）（1 1 0） （1 1 1）也可以作为一组基，但别的向量用这组基表示不方便。其实用正交基的好处在于数值计算上，不用正交基的话计算不稳定，会随着计算过程逐步积累误差，最后可能会使得误差过大计算结果根本不可用，而正交基不会发生这种问题。

什么是施密特正交化？

施密特正交化详细计算过程是[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。

由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。

正交：

在三维向量空间中，两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

对于一般的希尔伯特空间，也有内积的概念，所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。特别的，我们有n维欧氏空间中的正交概念，这是最直接的推广。

和正交有关的数学概念非常多，比如正交矩阵，正交补空间，施密特正交化法，最小二乘法等等。另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

求助：问个关于正交化的问题

其实不正交化是可以的，我转一段话给你看为什么一定要正交化？ 其实这完全是题目要求。不用正交化也是可以把实对称矩阵化成对角矩阵的。听起来好像是废话~但是，问题不再这。我们在实际做题目的时候是把“基”用正交化的方法化成正交基。 如果用2维解释的话 就是我门把他化成直角坐标系。用三维解释就是化成了空间直角坐标系。而这样做的目的就是方便了很多计算问题。而平时我门用的一般对角化只是基化成了普通的 他们没有很好的性质（用2维说明就是2个基不成90度）。这是正交化的算是几何意义吧。 另外，题目中也经常要求正交化，考察计算量

施密特正交化在解答线性代数题目的时候有何用处？ 也就是什么题型会遇到，从中有什么作用？

在将n阶实对称阵A对角化的过程中，我们希望得到一个正交阵P，使得P-1AP=∧。如果求得的特征值没有重根，对应的n个特征向量是两两正交的，这时n个特征向量组成的矩阵就是正交阵P；但如果特征值有r重根，那对应r重根特征值可求得r个线性无关特征向量，这r个特征向量虽与其他特征值对应的特征向量正交，但这r个特征向量本身并不一定正交。这时，需要通过施密特正交化，求得另外r-1个正交特征向量（可以证明通过施密特正交化求得的正交向量仍是特征向量，具体证明可参见附件相关章节），这样通过正交化后求得的n个特征向量都是两两正交的，这样才能得到正交阵P。当然这个过程中还可再将P单位化，即得到规范正交阵P，这样可使得求P的逆矩阵更加方便。

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