利用初等变换求逆矩阵

利用初等变换求逆矩阵

1、任何一个可逆矩阵都可以写成一系列初等矩阵的乘积。

2、对矩阵A进行行初等变换，相当于左乘以一和初等矩阵，对A进行列初等变换，相当于右乘以一个初等矩阵。

3、对可逆矩阵A进行一系列的初等行变换，一定可以把A化为单位矩阵E，即存在矩阵P，使得PA=E。所以对分块矩阵AE进行一系列初等行变换，化A为E，此时对E也进行同样的初等行变换，所以即对AE左乘以矩阵P，所以PAE等于PAP等于EP，P就是A的逆矩阵。

由矩阵的初等变换求逆矩阵的原理？我想了很久都没想明白，求大家帮帮我

1、任何一个可逆矩阵都可以写成一系列初等矩阵的乘积。

2、对矩阵A进行行初等变换，相当于左乘以一和初等矩阵，对A进行列初等变换，相当于右乘以一个初等矩阵。

3、对可逆矩阵A进行一系列的初等行变换，一定可以把A化为单位矩阵E，即存在矩阵P，使得PA=E。

所以对分块矩阵(A,E)进行一系列初等行变换，化A为E，此时对E也进行了同样的初等行变换，所以就相当于对(A,E)左乘以矩阵P，所以P(A,E)＝(PA,P)=(E,P)，P就是A的逆矩阵。

同样地，如果对矩阵（A）（E）只进行初等列变换，化A为E，则E同时变换为A的逆矩阵。

扩展资料：

矩阵等价

若矩阵A经过有限次的初等行变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B行等价；若矩阵A经过有限次的初等列变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B列等价；若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。

矩阵等价性质：

（1）反身性 A~A;

（2）对称性 若A~B，则B~A；

（3）传递性 若A~B，B~C，则A~C

初等矩阵性质：

1、设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，其结果等价于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，其结果等价于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。反之亦然。

2、方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1，P2，......Pn，使得P1P2...Pn.

3、m×n矩阵A与B等价当且仅当存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q使得B=PAQ。

参考资料：-矩阵变换

初等变换求逆矩阵

用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候，
即用行变换把矩阵(A，E)化成(E，B)的形式，那么B就等于A的逆
在这里
(A，E)=
1 -1 0 1 0 0
20 1 0 1 0
11-1 0 0 1r2-2r1,r3-r1
～
1 -1 0 1 0 0
02 1 -2 1 0
02-1 -1 0 1r3-r2
～
1 -1 0 1 0 0
02 1 -2 1 0
00-2 1 -1 1r3/(-2),r2-r3
～
1 -1 0 1 0 0
02 0 -3/2 1/2 1/2
00 1 -1/2 1/2 -1/2 r2/2 ,r1+r2
～
1 0 01/4 1/4 1/4
0 1 0 -3/4 1/4 1/4
0 0 1 -1/2 1/2 -1/2
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
1/4 1/4 1/4
-3/4 1/4 1/4
-1/2 1/2 -1/2

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