实数集的定义(什么是实数的定义)

实数集的定义

实数集通俗地认为，通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。任何一个非空有上界的集合必有上确界。

什么是实数的定义

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

性质 封闭性

实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性

实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：a<b,a=b,a>b。

传递性

实数大小具有传递性，即若a>b,b>c,则有a>c。

阿基米德性

实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b。

稠密性

实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

实数集与有理数集有什么本质区别

1、包含范围不同

有理数集中包含了分数和整数；

实数集包含了所有有理数和无理数。

2、符号不同

有理数集可以用大写黑正体符号Q代表；

实数集可以用大写黑正体符号R代表。

扩展资料：

一、有理数

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

二、实数集

18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来，但当时的实数集并没有精确的定义，直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义：任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。

参考资料：-有理数

参考资料：-实数集

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