到底什么是同阶无穷小量

到底什么是同阶无穷小量

在微积分学中，同阶无穷小量是近似行为差异不大的两个无穷小函数，它们针对某一点的比值趋近于一个有限确定的非零常数，或说，在此点附近比例恒定，没有显著的变化。换言之，如果两个函数以相似的速度接近零，我们就称它们为同阶无穷小量。

要深入理解同阶无穷小量，我们首先需要明确什么是无穷小量。简单来说，无穷小量是一种极限表达方式，表示的是一种特别小的量，指当自变量值向某一特定值趋于的过程中，函数值趋近于零。无穷小量并不意味着其绝对值必须是一个非常小的数，而是指不论给定多么小的正数，当自变量足够接近特定值时，函数绝对值都可以被限制在这个正数内。

然而，并非所有无穷小量都被认为是同阶的。如果两个无穷小量的比值在一点处趋于一个非零有限数，那么这两个无穷小量就被称为这一点的同阶无穷小量。比如，函数f(x)=x和g(x)=2x在x=0时，它们的比值f(x)/g(x)在x趋近于零时趋向于一个有限非零数，因此我们可以说f(x)和g(x)在x=0处是同阶无穷小量。

总的来说，同阶无穷小量是微积分学中的一个基本概念，它帮助我们比较两种变化方式是否以相似的速度接近零、理解函数在某一点附件的行为，也是极限、导数等微积分重要概念的基础。

同阶无穷小和一阶无穷小一样吗？

同阶无穷小和一阶无穷小一样。

因为如果它不为0，则是常数或者无穷大，那么0比上常数和无穷大都是0，而比值k不等于0，说明分母的极限也是0，在分子还是分母都没有关系，把分子和分母互换一下，比值就变成了1/k，也不等于0。

无穷小量

就是极限为零的量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即limf(x)=0，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)=(x－1)2是当x→1时的无穷小量，f(x)= 1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量（注意：特别小的数和无穷小量不同）。

高阶和低阶的定义是什么？

高阶和低阶都是相对而言的，一般都是说什么什么的高阶或低阶无穷小量。

比如说，x^3是x^2的高阶无穷小量，反过来，x^2是x^3的低阶无穷小量。

按照定义，令L=limf(x)/g(x)，其中f(x)和g(x)都是无穷小量。

如果L=0，则f(x)是g(x)的高阶无穷小量。

如果L=∞，则f(x)是g(x)的低阶无穷小量。

如果L=1，则f(x)是g(x)的等价无穷小量。

如果L=常数≠1，则f(x)是g(x)的同阶无穷小量。

扩展资料：

1、应该把无穷小量理解为“较低维的数”.所谓的低维,举个例子,比如一个边长为8的正方形,它的面积为64,这里的边长8就是相对于面积64来说是较低维的数,它有值,是8;但它的值在面积上看来是为0的.也就是说边长相对于面积来说是没有值的,但它自身有值

2、这样就可以把无穷小量定义为:点值为变量,线值为0的量.这种定义是很明确清晰的,没有教科书定义的那种模糊不清的问题.

3、由上面清晰的定义,无穷小量的运算也变得清晰明确,点值变量的舍弃也很好理解.

参考资料：百度百科-高阶无穷小

百度百科-低阶无穷小

什么叫高阶无穷小量，低阶无穷小量

若lim x→x0，f(x)/g(x)=0，则称f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。需要注意的是，这两个概念是相对的，不能说某个量是高阶无穷小量或是低阶无穷小量，应该是某个量是某个量的高阶无穷小量或低阶无穷小量。

举例：当 x→0时，x、x平方、x三次方……都是无穷小量，且后面一个都是前面一个的高阶无穷小量，或者前面一个都是后面一个的低阶无穷小量。

又如 当 α→0时，（1－cosα）/sinα＝0 ， 所以 当α→0时，1－cosα是sinα的高阶无穷小量，或sinα是1－cosα的低阶无穷小量。

扩展资料：

无穷小之间的简单运算:

1、如果b是a的高阶无穷小，即lim(b/a)=0。

2、如果a与b为同阶无穷小，即lim(b/a)=c;(c≠0)。

3、如果a与b为等价无穷小，即lim(b/a)=1。

无穷小的性质：

1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

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